Leandro Vendramin

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Seminario QA

2016

Abstracts

Viernes 28 de octubre

Leandro Guarnieri
Ecuación conjuntista de Yang-Baxter y estructuras algebraicas asociadas III

Abstract

El estudio de la ecuación de Yang-Baxter conjuntista fue propuesto por Drinfeld en 1993. Si bien se ha desarrollado gran cantidad teoría en torno al problema, aún quedan muchos problemas abiertos y preguntas por responder. Distinguiremos en la charla entre distintos tipos de soluciones conjuntistas y daremos el marco teórico para el estudio de las soluciones involutivas, introduciendo las estructuras algebraicas clásicas asociadas a las mismas. Definiremos también lo que es una braza a derecha y motivaremos su estudio a partir del estudio de las soluciones involutivas.

Viernes 21 de octubre

Emiliano Acri
Aplicación de la teoría de biálgebras a las sucesiones recursivas lineales (SRL)

Abstract

El conjunto de las SRLs sobre un cuerpo K se identifica con un subespacio particular del dual lineal de K[x]. Cada estructura de biálgebra sobre K[x] (veremos que sólo hay dos no isomorfas entre sí) nos permite dotar a ese subespacio de estructura de biálgebra. Son esas estructuras las que nos darán dos formas de multiplicar SRLs de forma de obtener una nueva SRL: son los productos de Hadamard y de Hurwitz. El objetivo de la charla será entonces dar una breve introducción a los conceptos de coálgebra y biálgebra para probar que las dos multiplicaciones mencionadas están bien definidas.

Viernes 12 de agosto

Bastian Roehrig
Fomin-Kirillov algebras and related structures

Abstract

Fomin-Kirillov algebras are quadratic algebras that were introduced in the late 90s by Fomin and Kirillov to study Schubert calculus. In this talk we will look at deformations of those algebras as a tool for studying them. In particular, we will attach certain groups to Fomin-Kirillov algebras. This is joint work with István Heckenberger.

Martes 2 de agosto

Victoria Lebed
Cohomology of idempotent solutions to the Yang-Baxter equation, with applications

Abstract

YBE solutions are famous for their applications to mathematical physics and topology. Since these areas require invertible solutions, other classes, for instance idempotent ones, have long been ignored. In this talk we will show that idempotent solutions do have interesting applications in algebra. Namely, they simplify (co)homology computations for factorizable groups, Young tableaux, and many other structures. The reason for this is that idempotent braidings satisfy a form of the Homology comparison conjecture of Farinati and Garcia-Galofre.

Jueves 21 de julio

Agata Smoktunowicz
On nil rings and braces

Abstract

Around 2005 Rump introduced braces as a tool for investigating non degenerate involutive set-theoretic solutions of the Yang-Baxter equation. Recently, skew-braces were introduced by Guarnieri and Vendramin as a tool to study all non-degenerate solutions. Nil and nilpotent rings are examples of braces, as observed by Rump, and some ring-theoretic tools to investigate nil rings are appropriate for studying braces. This approach first appeared in Rump’s papers, where for example he showed that a left brace is right nilpotent if and only if it has a finite multipermutation level. In this talk we give some new results obtained with a ‘ring theoretic’ approach. For example we show that a left brace is left nilpotent if and only if its adjoint group is a nilpotent group. This is an analogon to the result of Amberg, Dickenschied, and Sysak, that a finitely generated Jacobson radical ring is nilpotent if and only if its adjoint group is nilpotent. We also obtain other results on braces by analogy with nipotentl rings, for example by showing that every left brace of a cube free cardinality is left nilpotent. We also give some example results on nil rings and ask whether they could have counterparts in brace theory.

Jueves 21 de julio

Milen Yakimov
Quantum cluster algebra structures on double Bruhat cells

Abstract

We will describe a proof of the Berenstein-Zelevinsky conjecture that the quantized coordinate rings of all double Bruhat cells for complex simple Lie groups have canonical structures of quantum cluster algebras. All needed background on cluster algebras and quantum groups will be reviewed. This is a joint work with Ken Goodearl (UC Santa Barbara).

Viernes 24 de junio

Juan Orza
Soluciones de Yang-Baxter vía cálculo de Fox

Abstract

En esta charla, vamos a construir una familia de soluciones de la ecuación conjuntista de Yang-Baxter (SYBE) a partir de representaciones del grupo de trenzas en el grupo de automorfismos del grupo libre. Usando técnicas del cálculo diferencial libre de Fox, obtendremos operadores R y R’ de forma tal que (G, R) y (GxV, R’) serán SYBE para cualquier grupo G y cualquier G-módulo V.

Viernes 3 de junio

Pablo Zadunaisky
Semigrupos de tipo I y soluciones de YB

Abstract

Vamos a comentar algunos resultados del artículo “Semigroups of I-type” de I. Gateva-Ivanova y M. Van den Bergh. A cada solución (X,r) de YB se le asocia un semigrupo generado por X y cuyas relaciones dependen de r. En el artículo citado se caracteriza los semigrupos que surgen de soluciones involutivas, libres de cuadrados y no degeneradas con una propiedad llamada “I-estructura”. Vamos adefinir las I-estructuras y probar esta caracterización. Si el tiempo lo permite vamos a comentar ciertas propiedades homológicas del álgebra del semigrupo.

Viernes 27 de mayo

Leandro Guarnieri
Estructuras algebraicas asociadas a la ecuación de Yang-Baxter II

Abstract

Muchas estructuras algebraicas resultan de interés para estudiar soluciones conjuntistas de la ecuación de Yang-Baxter. En esta charla, introduciremos algunas estructuras algebraicas que aparecen en este contexto, como los conjuntos cíclicos lineales y las brazas, y motivaremos su estudio.

Viernes 20 de mayo

Gastón García
La construcción FRT

Abstract

Unos de los hitos más importantes en la teoría de grupos cuánticos y deformaciones fueron los resultados de Drinfeld sobre como encontrar soluciones a la ecuación cuántica de Yang-Baxter (QYBE), proveniente de la mecánica estadística. Estas soluciones, llamadas usualmente R-matrices, son operadores sobre un cierto espacio vectorial y se pueden ver como representaciones de un álgebra no conmutativa con una estructura adicional (grupo cuántico). Las soluciones de la QYBE están estrechamente ligadas a las soluciones de trenzas y de cierta forma codifican la simetría del grupo cuántico. Recíprocamente, la construcción FRT, que lleva su nombre por Fadeev, Reschetikhin y Takhtadjian, asocia a cada solución de la QYBE un grupo cuántico. En esta charla mostraremos la construcción general que asocia a una forma bilineal una cierta biálgebra con una propiedad universal, algunas propiedades básicas que se desprenden de la construcción y ejemplos.

Viernes 22 de abril

Marco Farinati
Ida y vuelta entre soluciones no degeneradas de la ecuación de Yang-Baxter y racks

Abstract

A cada solucion de la ecuacion (conjuntista) de Yang-Baxter (X, r) se le puede asociar a X una estructura de rack, llamado el rack derivado. Por ejemplo, la solucion es involutiva si y solo si su rack derivado es el rack trivial. Reciprocamente, dado un rack X, se pueden describir todas las posibles soluciones no degeneradas de la YBeq cuyo rack derivado sea X en terminos de una operacion adicional “puntito”, que satisface dos propiedades explicitas. En el caso de soluciones involutivas, la operacion puntito es la descrita por Rump. En esta charla repasaremos la construccion del rack derivado y mostraremos la correspondencia entre soluciones no degeneradas (X,r) y pares de operaciones (X, rack, puntito).

Viernes 15 de abril

Leandro Vendramin
Estructuras algebraicas asociadas a la ecuación de Yang-Baxter.

Abstract

Muchas estructuras algebraicas resultan de interés para estudiar soluciones conjuntistas de la ecuación de Yang-Baxter. En esta charla, además de dar las nociones básicas sobre la ecuación de Yang-Baxter, introduciremos varias estructuras algebraicas que aparecen en este contexto (conjuntos cíclicos y cuasicíclicos, brazas, 1-cociclos biyectivos, racks y biracks).

Martes 23 de febrero

Simon Lentner
Logarithmic conformal field theories and Nichols algebras

Abstract

I will discuss a purely Hopf algebraic approach to vertex algebras, where we allow for fractional z-powers. In this context, we see quite naturally a quantum symmetrizer appear and thus Nichols algebra relations. In the example this gives an action of a diagonal Nichols algebra on the state space of a lattice vertex algebra. I will conclude by explaining how this fabricates a representation theoretic relation between logarithmic conformal field theories and Nichols algebras.